Elastisite Modülü Nedir? Young Modülü, Hooke Kanunu ve Betonun Elastisite Modülü

Elastisite modülü, bir malzemenin elastik bölgede gerilme ile birim şekil değiştirme arasındaki oranıdır ve malzemenin şekil değiştirmeye karşı ne kadar direnç gösterdiğini ifade eder. Young modülü olarak da bilinen bu büyüklük “E” harfiyle gösterilir ve birimi N/mm² (MPa) veya GPa’dır. Elastisite modülü yüksek olan bir malzeme aynı gerilme altında daha az uzar veya kısalır; yani daha “katı” davranır. Çeliğin elastisite modülü yaklaşık 200 000 MPa, betonun ise sınıfına göre 27 000 – 37 000 MPa civarındadır.

Bu yazıda elastisite modülü nedir, birimi nedir, Hooke kanunu nasıl ifade edilir, elastik ve plastik şekil değiştirme farkı, gerilme-şekil değiştirme eğrisi, betonun elastisite modülü ve TS 500 tablosu, çeliğin ve diğer yapı malzemelerinin elastisite modülleri, elastisite modülünü etkileyen faktörler, deneyle nasıl belirlendiği ve mühendislikte ne işe yaradığı ayrıntılı olarak anlatılmaktadır. Yazıdaki hesap aracıyla malzemeye göre E değerini bulabilir, Hooke kanunuyla uzama hesabı yapabilir ve deney verisinden elastisite modülünü hesaplayabilirsiniz.

Elastisite Modülü Nedir?

Elastisite modülü; bir malzemeye uygulanan düşük gerilmeler altında meydana gelen şekil değiştirmenin, yük kaldırıldığında tamamen geri dönebildiği elastik davranışı tanımlayan malzeme sabitidir. Kısaca elastisite modülü (E), birim gerilme ile birim şekil değiştirme arasındaki orandır:

E = σ / ε

Burada σ normal gerilme (kuvvet / alan), ε ise birim şekil değiştirmedir (boy değişimi / ilk boy). Birim şekil değiştirme boyutsuz bir büyüklük olduğu için elastisite modülünün birimi gerilmeyle aynıdır. Bu oran, Hooke kanununun geçerli olduğu sınırlar içinde, yani malzemenin orantı sınırına kadar sabittir.

Geometrik olarak elastisite modülü, gerilme-şekil değiştirme (σ-ε) eğrisinin elastik bölgedeki doğrusal kısmının eğimidir. Eğim ne kadar dikse malzeme o kadar rijittir.

Elastisite Modülünün Birimi Nedir?

Elastisite modülü ve Young modülünün birimi N/mm² veya MPa’dır (1 MPa = 1 N/mm²). Değerler büyük olduğu için çoğu zaman GPa (1 GPa = 1000 MPa) kullanılır. Eski kaynaklarda kgf/cm² ve t/m² birimlerine de rastlanır; 1 MPa yaklaşık 10,2 kgf/cm²’ye eşittir. Örneğin çeliğin elastisite modülü 200 000 MPa = 200 GPa ≈ 2 040 000 kgf/cm²’dir.

Elastisite Modülü ile Young Modülü Aynı mıdır?

Evet. Tek eksenli çekme veya basınç altında tanımlanan elastisite modülü, bu kavramı 19. yüzyılın başında ortaya koyan İngiliz bilim insanı Thomas Young’ın adıyla Young modülü olarak da anılır. Malzemenin kayma etkisi altındaki davranışını tanımlayan kayma modülü (G) ve hacimsel sıkışmayı tanımlayan hacim modülü (K) ise farklı elastik sabitlerdir. Hepsi genel anlamda “elastik modüller” olarak adlandırılır.

Elastik ve Plastik Şekil Değiştirme

Elastisite modülünden bahsederken öncelikle elastik ve plastik şekil değiştirme kavramlarını anlamak gerekir. Bir malzemeye yük uygulandığında şekil değiştirme ortaya çıkar. Yük kaldırıldığında malzeme ilk şekline dönüyorsa buna elastik şekil değiştirme, yeni şekliyle kalıyorsa buna plastik (kalıcı) şekil değiştirme denir.

Elastik şekil değiştirmenin zamandan bağımsız olduğu, yani gerilme uygulanır uygulanmaz ani olarak meydana geldiği kabul edilir. Yükün kısa sürede veya uzun sürede uygulanması ise özellikle beton gibi malzemelerde farklı şekil değiştirmelere yol açar; uzun süreli yükler altında zamanla artan şekil değiştirmeye sünme denir.

Elastisite modülü yüksek olan bir malzeme, elastik sınırlar içinde (gerilme ile şekil değiştirmenin doğru orantılı olduğu bölgede), daha düşük modüllü bir malzemeye göre aynı gerilme altında daha küçük şekil değiştirme yapar. Elastisite modülünün yüksek olması malzemenin dayanımının yüksek olduğu anlamına gelmez; dayanım ile rijitlik farklı kavramlardır. Örneğin cam ve alüminyumun elastisite modülleri birbirine yakındır, ancak kırılma davranışları tamamen farklıdır.

Hooke Kanunu Nedir?

Gerilme ile birim şekil değiştirme elastik bölgede doğru orantılıdır. Bu ilişki 17. yüzyılda Robert Hooke tarafından ortaya konmuş ve Hooke kanunu olarak adlandırılmıştır:

σ = E · ε    (Gerilme = Elastisite Modülü × Birim Şekil Değiştirme)

Eksenel yük taşıyan bir çubuk için σ = P/A ve ε = ΔL/L yazıldığında Hooke kanunu, çubuğun boy değişimini veren pratik bir bağıntıya dönüşür:

ΔL = P · L / (A · E)

Burada P eksenel kuvvet, L çubuk boyu, A kesit alanı ve E elastisite modülüdür. Paydadaki A·E çarpımına eksenel rijitlik denir. Eğilme için benzer şekilde E·I çarpımı eğilme rijitliğini verir. Rijitlik kavramını rijitlik nedir yazımızda ayrıntılı olarak ele aldık.

Örnek Hesap

Boyu 3 m, kesiti 30×30 cm (A = 900 cm² = 90 000 mm²) olan C30 betonundan bir kolon, 500 kN eksenel basınç kuvveti taşısın. Betonun elastisite modülü TS 500’e göre E_c = 3250·√30 + 14000 ≈ 31 800 MPa’dır.

• Gerilme: σ = 500 000 N / 90 000 mm² ≈ 5,56 MPa
• Birim kısalma: ε = 5,56 / 31 800 ≈ 0,000175 (175 × 10⁻⁶)
• Boy kısalması: ΔL = 0,000175 × 3000 mm ≈ 0,52 mm

Aynı kuvvet aynı kesitteki bir çelik çubuğa uygulansaydı, çeliğin elastisite modülü yaklaşık 6,3 kat büyük olduğu için kısalma da yaklaşık 6,3 kat küçük olurdu.

Bu örnek, betonarme bir kolonda beton ile donatının aynı birim kısalmayı yaptığını, ancak elastisite modülleri farklı olduğu için çok farklı gerilmeler taşıdığını da gösterir. Aynı 175 × 10⁻⁶ birim kısalmada donatıdaki gerilme 200 000 × 0,000175 = 35 MPa olurken betondaki gerilme yaklaşık 5,6 MPa’dır. Donatının betona göre yaklaşık 6 kat daha fazla gerilme taşıması, betonarme kesitlerin “dönüştürülmüş kesit” yöntemiyle hesaplanmasının temelidir.

Gerilme-Şekil Değiştirme Eğrisi ve Elastisite Modülü

Bir malzemenin mekanik davranışı, çekme veya basınç deneyinden elde edilen gerilme-şekil değiştirme eğrisiyle tanımlanır. Yapı çeliği için tipik bir eğride şu bölgeler görülür:

• Orantı sınırı: Gerilme ile şekil değiştirmenin doğru orantılı olduğu, Hooke kanununun geçerli olduğu sınırdır. Bu bölgedeki doğrunun eğimi elastisite modülüdür.
• Elastik sınır: Yük kaldırıldığında kalıcı şekil değiştirme kalmayan en büyük gerilmedir. Çoğu metalde orantı sınırına çok yakındır.
• Akma sınırı: Malzemenin gerilme artmadan büyük şekil değiştirmeler yapmaya başladığı noktadır. Bu noktadan sonra plastik davranış başlar. Ayrıntılar için akma sınırı ve akma dayanımı yazımıza bakabilirsiniz.
• Pekleşme ve çekme dayanımı: Akmadan sonra malzeme yeniden gerilme taşıyabilir hâle gelir ve en büyük gerilmeye (çekme dayanımı) ulaşır.
• Kopma: Kesitte büzülme (boyun verme) oluşur ve malzeme kopar.

Beton gibi doğrusal olmayan malzemelerde eğri başlangıçtan itibaren hafifçe kavislidir. Bu nedenle betonda farklı elastisite modülü tanımları kullanılır:

• Başlangıç teğet modülü: Eğrinin başlangıç noktasındaki teğetinin eğimi.
• Teğet modülü: Eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetin eğimi.
• Sekant modülü: Başlangıç noktası ile belirli bir gerilme düzeyindeki (genellikle basınç dayanımının %40’ı) noktayı birleştiren doğrunun eğimi. Yönetmeliklerde ve deneylerde esas alınan değer genellikle budur.
• Dinamik modül: Ultrasonik ses hızı veya rezonans frekansı ölçümlerinden bulunan, çok küçük gerilmelere karşılık gelen modül. Statik modülden bir miktar yüksektir.

Gerilme ve şekil değiştirme ilişkisinin genel çerçevesini gerilme-şekil değiştirme ilişkisi yazımızda inceleyebilirsiniz.

Elastisite Modülü Hesaplama Aracı

Aşağıdaki araçta önce malzemeyi seçin; beton için sınıfa göre TS 500 ve Eurocode 2 değerleri hesaplanır. İkinci bölümde eksenel kuvvet, kesit alanı ve boy girerek Hooke kanunuyla gerilme, birim şekil değiştirme ve boy değişimini bulabilirsiniz. Üçüncü bölümde ise bir basınç veya çekme deneyinden okunan iki noktanın gerilme ve birim şekil değiştirme değerlerini girerek elastisite modülünü hesaplayabilirsiniz.

Betonun Elastisite Modülü

Betonun elastisite modülü; sehim, kat ötelemesi, ön germe kayıpları, çatlak ve şekil değiştirme hesaplarında kullanılır. TS 500’de 28 günlük beton elastisite modülü, karakteristik basınç dayanımına bağlı olarak şu bağıntıyla verilir:

E_c = 3250 · √f_ck + 14000   (MPa)

Eurocode 2 (TS EN 1992-1-1) ise ortalama elastisite modülünü ortalama basınç dayanımına bağlar: E_cm = 22 · (f_cm/10)^0,3 GPa, burada f_cm = f_ck + 8 MPa’dır. İki bağıntı benzer değerler verir. TS 500’e göre beton sınıflarının elastisite modülleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

TBDY 2018 ile birlikte deprem bölgelerindeki binalarda kullanılabilecek en düşük beton sınıfı yükseltilmiştir; bu konuyu TBDY 2018 kullanılabilir beton sınıfları yazımızda bulabilirsiniz. Betonun j günlük elastisite modülü, j günlük basınç dayanımı kullanılarak aynı bağıntıyla hesaplanabilir.

Betonun Elastisite Modülünü Etkileyen Faktörler

Kompozit bir malzeme olan betonu oluşturan ana bileşenlerin hacimsel oranı, yoğunluğu, elastisite modülleri ve agrega ile çimento hamuru arasındaki geçiş bölgesinin özellikleri betonun elastisite modülünü belirler. Betonun basınç dayanımını etkileyen bütün etkenler elastisite modülü üzerinde de etkilidir.

• Agrega: Elastisite modülü yüksek iri agrega miktarının fazla olması betonun modülünü artırır. Agreganın en büyük tane çapı, şekli, tane dağılımı, yüzey dokusu ve ara yüzeydeki mikro çatlaklar da modülü etkiler. Bazalt ve kalker agregalı betonların modülü, hafif agregalı betonlara göre belirgin biçimde yüksektir.
• Çimento hamuru: Hamurun boşluklu yapısı modülü düşürür. Su/çimento oranının azalması ve hidratasyonun ilerlemesi modülü artırır.
• Yaş: Beton yaşlandıkça hidratasyon ilerlediği için elastisite modülü artar; bu artış dayanımdaki artışa göre daha hızlı gerçekleşir.
• Nem durumu: Islak durumda deneye tabi tutulan betonlar, kuru betonlara göre yaklaşık %15 daha yüksek elastisite modülü verir.
• Yükleme hızı: Düşük yükleme hızlarında sünme etkisiyle elastik şekil değiştirmelere ek şekil değiştirmeler eklenir ve ölçülen modül düşer.
• Uzun süreli yük: Sünme nedeniyle uzun süreli yükler altında betonun “etkin” elastisite modülü, kısa süreli değerin yarısına, hatta üçte birine kadar düşebilir. Bu nedenle uzun dönem sehim hesaplarında sünme katsayısı dikkate alınır.

Betonun Elastisite Modülü Deneyle Nasıl Belirlenir?

Betonun statik elastisite modülü, silindir numuneler üzerinde basınç altında yapılan deneyle belirlenir. Türkiye’de TS EN 12390-13, Amerika’da ASTM C469 standardı kullanılır. Numune, basınç dayanımının yaklaşık üçte biri veya %40’ı düzeyine kadar birkaç kez yüklenip boşaltılır ve bu sırada numunenin ortasına bağlanan hassas ölçerlerle birim kısalmalar ölçülür. ASTM C469 yönteminde elastisite modülü, birim kısalmanın 50 × 10⁻⁶ olduğu andaki gerilme (σ₁) ile basınç dayanımının %40’ına karşılık gelen gerilme (σ₂) arasındaki sekant eğimi olarak hesaplanır:

E = (σ₂ − σ₁) / (ε₂ − 0,000050)

Mevcut yapılarda ise betonun elastisite modülü karot numuneleri üzerinde aynı deneyle veya ultrasonik ses hızı ölçümleriyle dolaylı olarak tahmin edilir.

Elastisite Modülü, Rijitlik ve Sehim İlişkisi

Elastisite modülü bir malzeme özelliğidir; bir elemanın ne kadar şekil değiştireceğini ise malzeme ile geometri birlikte belirler. Örneğin basit mesnetli, düzgün yayılı yük taşıyan bir kirişin orta noktasındaki sehim δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I) bağıntısıyla bulunur. Bu bağıntıda elastisite modülü E ve kesitin atalet momenti I paydada çarpım hâlinde yer alır. Yani sehimi yarıya indirmek için ya elastisite modülü iki kat büyük bir malzeme seçmek ya da kesitin atalet momentini iki katına çıkarmak gerekir.

Uygulamada malzemeyi değiştirmek çoğu zaman mümkün olmadığı için sehim, kesit yüksekliği artırılarak kontrol edilir. Dikdörtgen bir kesitte atalet momenti yüksekliğin küpüyle arttığından, kiriş yüksekliğini %26 artırmak atalet momentini yaklaşık iki katına çıkarır. Bu yüzden betonarme yapılarda beton sınıfını yükseltmek sehimi sınırlı ölçüde azaltırken, kiriş veya döşeme kalınlığını artırmak çok daha etkilidir.

Sıcaklığın ve Zamanın Elastisite Modülüne Etkisi

Elastisite modülü sıcaklıkla değişir. Çelikte oda sıcaklığındaki değer birkaç yüz dereceye kadar fazla değişmez; ancak yangın sırasında 400–600 °C’nin üzerindeki sıcaklıklarda hem akma dayanımı hem de elastisite modülü hızla düşer. Çelik yapıların yangına karşı korunmasının temel nedenlerinden biri budur. Betonun elastisite modülü de yüksek sıcaklıkta, iç yapıdaki su kaybı ve mikro çatlaklar nedeniyle azalır.

Zamanın etkisi ise özellikle betonda belirgindir. Genç betonun modülü düşüktür ve hidratasyon ilerledikçe artar. Bu nedenle kalıp alma ve erken yükleme kararlarında betonun o günkü dayanımı ve modülü dikkate alınmalıdır. Uzun süreli yükler altında ise sünme nedeniyle etkin modül zamanla azalır. Plastik malzemelerde ve bazı polimerlerde de sıcaklık ve yük süresi elastisite modülünü önemli ölçüde etkiler.

Çeliğin ve Diğer Yapı Malzemelerinin Elastisite Modülleri

Yapı malzemelerinin elastisite modülleri çok geniş bir aralıkta değişir. Aşağıdaki tabloda sık kullanılan malzemeler için tipik değerler verilmiştir. Tasarımda ilgili standardın veya üretici belgesinin değerleri esas alınmalıdır.

Çeliğin elastisite modülü, çelik sınıfından neredeyse bağımsızdır. S235 ile S355 yapı çeliklerinin veya B420C ile B500C donatı çeliklerinin akma dayanımları farklı olsa da elastisite modülleri aynıdır. Bu nedenle yüksek dayanımlı çelik kullanmak elemanın sehimini azaltmaz; sehim ancak kesit büyütülerek, yani atalet momenti artırılarak azaltılabilir. Donatı çeliğinin σ-ε davranışını B420C donatı özellikleri yazımızda inceleyebilirsiniz.

Ahşap, liflerin doğrultusuna göre farklı davranan (anizotrop) bir malzemedir; lif doğrultusundaki elastisite modülü, liflere dik doğrultudakinin 10–20 katıdır. Ayrıntılar için ahşabın elastisite modülü yazımıza, yığma duvarlar için ise duvar elastisite modülleri ve basınç dayanımları yazımıza bakabilirsiniz.

Poisson Oranı ve Kayma Modülü

Bir çubuk eksenel doğrultuda uzarken enine doğrultuda incelir, kısalırken de şişer. Enine birim şekil değiştirmenin boyuna birim şekil değiştirmeye oranına Poisson oranı (ν) denir. Çelik için ν ≈ 0,30, beton için ν ≈ 0,20 alınır. TS 500 betonun Poisson oranını 0,20 olarak verir.

Elastisite modülü (E), kayma modülü (G) ve Poisson oranı (ν) birbirine bağlıdır. İzotrop malzemeler için:

G = E / [2 · (1 + ν)]

Buna göre çeliğin kayma modülü yaklaşık 200 000 / (2 × 1,3) ≈ 77 000 MPa, C30 betonunun kayma modülü ise yaklaşık 32 000 / (2 × 1,2) ≈ 13 300 MPa’dır. Kayma modülü burulma ve kayma deformasyonu hesaplarında kullanılır.

Elastisite Modülü Ne İşe Yarar?

Elastisite modülü bilindiğinde, birim şekil değiştirmeler ölçülerek gerilmeler hesaplanabilir. Basınç dayanımı ile elastisite modülü arasında bilinen ilişkiler sayesinde, malzemeye zarar vermeden dayanımı hakkında yaklaşık bilgi elde edilebilir. Mühendislikte elastisite modülünün başlıca kullanım alanları şunlardır:

• Sehim hesabı: Kiriş ve döşemelerin sehimi E·I eğilme rijitliğiyle ters orantılıdır.
• Yapısal analiz: Bilgisayar programlarında eleman rijitlikleri, dolayısıyla iç kuvvet dağılımı ve kat ötelemeleri E değerine bağlıdır.
• Deprem hesabı: Yapının doğal titreşim periyodu rijitliğe, dolayısıyla elastisite modülüne bağlıdır.
• Burkulma: Narin kolonların Euler burkulma yükü E ile doğru orantılıdır.
• Kompozit kesitler: Betonarme ve kompozit kesitlerde çelik ve betonun birlikte çalışması, iki malzemenin elastisite modülleri oranı (n = E_s/E_c) ile hesaplanır.
• Ön germe: Ön gerilmeli betonda elastik kısalma kayıpları elastisite modülüne bağlıdır.

Gerilme-şekil değiştirme ilişkisini etkileyen bütün değişkenler elastisite modülünü de etkiler. Örneğin beton gibi tam elastik ve doğrusal olmayan bir malzemenin zamana bağlı şekil değiştirmesi, elastisite modülünün tek bir kesin değerle tanımlanmasını zorlaştırır. Bu nedenle yönetmeliklerde betonun elastisite modülü, basınç dayanımının bir fonksiyonu olarak verilir. Malzemenin dayanım kavramı için mukavemet nedir yazımıza göz atabilirsiniz.

Konuyla ilgili video anlatımı:

Sık Sorulan Sorular

Elastisite modülü nedir?

Elastisite modülü, bir malzemenin elastik bölgede gerilmenin birim şekil değiştirmeye oranıdır (E = σ/ε). Malzemenin şekil değiştirmeye karşı direncini, yani rijitliğini gösterir. Young modülü olarak da bilinir.

Elastisite modülünün birimi nedir?

Birimi gerilme birimiyle aynıdır: N/mm² (MPa) veya GPa. Birim şekil değiştirme boyutsuz olduğu için elastisite modülü gerilme boyutundadır.

Hooke kanunu nedir?

Elastik bölgede gerilmenin birim şekil değiştirmeyle doğru orantılı olduğunu ifade eden yasadır: σ = E·ε. Eksenel yüklü bir çubukta boy değişimi ΔL = P·L/(A·E) bağıntısıyla hesaplanır.

Betonun elastisite modülü nasıl hesaplanır?

TS 500’e göre E_c = 3250·√f_ck + 14000 MPa bağıntısıyla hesaplanır. Örneğin C30 betonu için yaklaşık 32 000 MPa, C25 için 30 000 MPa bulunur.

Çeliğin elastisite modülü kaçtır?

Yapı ve donatı çeliklerinin elastisite modülü yaklaşık 200 000 MPa’dır (TS 500’de donatı çeliği için 2 × 10⁵ MPa, Eurocode 3’te yapı çeliği için 210 000 MPa alınır). Değer, çeliğin dayanım sınıfından neredeyse bağımsızdır.

Elastisite modülü yüksek olan malzeme daha mı dayanıklıdır?

Hayır. Elastisite modülü rijitliği, yani şekil değiştirmeye direnci gösterir; dayanım ise malzemenin kırılmadan veya akmadan taşıyabileceği en büyük gerilmedir. Örneğin cam ile alüminyumun elastisite modülleri yakındır, ancak cam gevrek, alüminyum ise sünek davranır.

Elastik şekil değiştirme ile plastik şekil değiştirme arasındaki fark nedir?

Elastik şekil değiştirmede yük kaldırıldığında malzeme ilk şekline tamamen döner; gerilme ile şekil değiştirme doğru orantılıdır. Plastik şekil değiştirmede ise akma sınırı aşılmıştır ve yük kaldırıldıktan sonra kalıcı bir şekil değişikliği kalır. Yapıların depremde enerji tüketebilmesi, elemanların kontrollü plastik şekil değiştirme yapabilmesine, yani sünekliğe bağlıdır.

Betonun elastisite modülü neden sabit değildir?

Beton doğrusal olmayan ve zamana bağlı davranan bir malzemedir. Modül; agrega türüne, su/çimento oranına, betonun yaşına, nem durumuna, yükleme hızına ve yükün etki süresine göre değişir. Bu nedenle yönetmelikler betonun elastisite modülünü basınç dayanımına bağlı yaklaşık bir bağıntıyla verir.

Elastisite modülü ile kayma modülü arasındaki ilişki nedir?

İzotrop malzemelerde G = E / [2·(1+ν)] bağıntısı geçerlidir. Poisson oranı 0,30 olan çelikte kayma modülü elastisite modülünün yaklaşık %38’idir.